一、流體力學的數學理論、高精度數值方法及應用

三維不可壓Navier-Stokes方程光滑解的整體存在性是千禧年七大數學疑難問題之一。由于Navier-Stokes方程對于氣象、海流、管道、飛機機翼等流體動力學建模異常有效，因此對它的研究不僅具有重要的理論意義，而且有廣泛的應用價值。

1.流體力學方程的數學理論

突破線積分技巧，利用Brezis-Gallout不等式和壓力振蕩估計等新思想證明N-S方程D解的衰減性和在沒有先驗假設下特殊區域内解的劉維爾定理。引入新低頻正則性假設，建立可壓縮 N-S 方程解在Lp臨界空間中的衰減性，克服速度變量“高振蕩波”所引起的技術困難。突破系統具有強單調性和群具有緊性的限制，利用斜積半流理論建立非自治系統穩定整體解的對稱性和單調性。利用譜分析工具建立 Landau方程和Kac方程在臨界空間中解的整體存在性與光滑性，運用Littlewood-Paley分解、Bony仿積分解和Besov空間理論等調和分析工具研究微觀方程。

2.CFD中的高精度數值計算

針對流體力學方程組設計簡便、實用、魯棒性強的高精度加權基本無振蕩（WENO）算法，突破傳統WENO 類方法基于等單元數空間模闆構造的限制，簡化構造步驟和計算流程，改進傳統高精度方法存儲量大、計算效率低的不足；在此基礎上，設計簡便易實施的有限差分/有限體積WENO-ZQ格式，保證間斷區域基本無振蕩過渡；設計适用于複雜網格體系的高精度有限體積多分辨率WENO格式，提高格式的魯棒性并降低編程難度；設計适用于間斷Galerkin緊緻方法的高精度、強穩健、高緊緻限制器，對高維問題提高計算效率且适用于任意網格類型。

3.稀薄氣體動力學中的高效數值矩方法

針對Hermite數值矩方法框架下獲得的逼近玻爾茲曼方程的任意階雙曲矩模型，系統研究穩态問題的高效數值求解算法，發展和完善基于低階矩模型校正加速收斂技術的多水平疊代法，提高求解高階矩模型的計算效率，為數值矩方法的實際應用奠定基礎；研究具有碰撞積分項、空間非均勻的玻爾茲曼方程在Hermite/Burnett矩展開框架下的高效數值解法，設計保持平衡态性質的、兼顧精度和效率且與位置空間離散相匹配的碰撞項計算方法，為具有複雜碰撞項的玻爾茲曼方程的求解和應用提供新的有競争力的計算工具。

4.複雜流體動力學模型的高精度能量穩定算法

系統地研究三個兩相流相場模型，發展高效的能量穩定算法，将保結構算法理論推廣到兩相流相場模型，拓展保結構算法的應用範圍，驗證滿足熱力學一緻性的拟可壓兩相流相場模型能夠準确描述變密度的兩相流問題；進一步，研究非周期邊界條件下的兩相流相場模型，提出一類全離散的線性能量穩定格式，證明格式保持離散的能量耗散結構和唯一可解性；突破低階的能量穩定算法，為相場模型發展任意高階的能量穩定算法。

二、數值代數的數學理論與方法

數值代數是科學與工程計算的基礎，也是南航計算數學的重點研究方向之一，主要研究内容包括複雜結構設計、分析與控制，計算電磁學醫學與圖像處理和模式識别等領域出現的矩陣計算問題，對推動結構的響應分析和振動分析、結構模型修正、醫學成像和圖像處理等領域新技術的發展具有重要的理論意義和應用價值。

1.大型複對稱線性方程組的高效預處理疊代法

對結構阻尼系統的響應分析、計算電磁學等領域出現的大規模複對稱線性方程組，基于矩陣分裂和松弛技術，構造不精确塊預處理子，推導新預處理子的性質、預處理矩陣的譜分布以及預處理矩陣最小多項式次數的上界，提供預處理疊代法的執行技巧；基于拟最小殘量，提出求解複對稱線性方程組的拟最小殘量雙共轭A-正交殘量方法，并設計改進的預處理Hermitian和skew-Hermitian分裂預處理子加速疊代法的收斂性。

2.多項式特征值問題的數值解法與收縮技術

對粘彈性結構和固流耦合結構的振動分析等領域中出現的多項式特征值問題，分析多項式特征值問題的特征結構和譜性質，提出求解多項式特征值問題的部分正交投影方法；提出求解多項式特征值問題的隐式重啟精化部分正交投影方法，解決多項式特征值問題的收縮技術；基于廣義Arnoldi過程，提出求解多項式特征值問題帶收縮的隐式重啟精化廣義Arnoldi方法。

3.振動反問題和有限元模型修正中的特征值反問題

對杆結構振動反問題所導出的矩陣特征值反問題，将其等價轉化為具有特殊結構Jacobi矩陣的特征值反問題，導出問題有解的條件，并提出求解問題的數值方法；對由不完整的實測數據修正阻尼結構系統有限元模型并保持無溢出的問題，将其建模為譜約束下二次結構矩陣束最佳逼近問題，導出問題有解的條件，提出解決這類問題的數值方法；對二階振動控制系統的部分極點配置問題，導出問題有解的條件以及參數解的表達式，提出求解這些問題的一些數值方法。

4.反問題與醫學圖像處理

對多模态數據進行融合與分析，建立多模态的光學成像耦合模型。利用數學物理反問題的數學理論和正則化技術，解決生物醫學成像和圖像處理中的諸多瓶頸問題，并通過研究深度學習等現代數據處理技術與數學理論的本質聯系，建立可解釋、泛化性強的成像算法和圖像處理技術。對于沒有配準對齊的MRI和PET圖像，利用多模态聯合重建技術提高PET圖的信噪比和空間分辨率。

三、偏泛函微分方程和動力系統

微分方程與動力系統在物理、力學、生物數學、自動控制、航空航天、人工神經網絡等諸多學科領域得到了廣泛的應用。開展偏泛函微分方程理論、應用和動力系統理論、高維非線性力學系統全局動力學等問題的研究，具有重要的實用價值。

1.非光滑偏泛函微分方程的模型建立與動力學

構建由非光滑時滞反應擴散方程描述的幾類新模型，推廣Filippov理論，突破右端非光滑時滞反應擴散系統的穩定性、周期性、同步性等動力學行為研究的技術瓶頸，揭示時滞空間效應和非光滑特性對種群空間分布、持續生存以及滅絕的影響規律，豐富和發展偏泛函微分方程動力學的研究理論與方法。

2.退化偏泛函微分方程的模型建立與行波解

建立具有Allee效應和⾮光滑反應項的退化擴散或聚集-擴散模型，讨論各類平衡點在存在與穩定性，研究⾏波解、波串解和最小波速等問題，給出⾏波解在有限時間内收斂到零的條件；對于退化-擴散模型，給出⾏波解具有弱特性的等價條件。

3.群作用斜積半流動力學研究

在抽象理論意義下，建立單調斜積半流一緻穩定1-覆蓋極小集的對稱性或單調性；利用群作用理論，研究單調斜積半流1-覆蓋極小集的空間結構，證明其對稱性或單調性；并應用此抽象理論推導無界區域上非自治反應擴散方程穩定整體解的旋轉對稱性和時間回複結構中非線性擴散方程穩定行波解的單調性。

4.幾類高維非線性力學系統動力學問題研究

研究幾類高維力學模型的全局動力學，在主共振、内共振和參數共振等條件下，推導系統存在單脈動同宿軌（異宿軌）、多脈動同宿軌（異宿軌）的充分條件以及系統産生Smale馬蹄混沌運動的參數判據；研究一類六維非線性氣彈機翼模型的穩定性和分岔問題，分析系統發生顫振和二維環面分岔的參數條件，為避免該類機翼顫振提供理論指導。

四、數值優化理論與應用

随着人工智能、大數據等新興領域的蓬勃發展，最優化理論與方法的重要性越來越突出，大量實際工程問題最終都可歸結為最優化問題。針對實際工程問題，特别是面向國家重大需求的重要問題，發掘問題的本質，建立合适的模型，并發展高效穩定的數值優化方法，這具有重要意義。

1.張量特征值理論與算法

張量特征值問題是張量計算中核心問題，在自動控制、超圖理論和信号處理等方面有着重要應用。針對非負張量最大H特征值問題，結合張量的結構特性提出具有三次收斂的算法；針對一類幾乎非負不可約張量Z特征值問題，結合半對稱張量的性質給出使用Newton法的求解方案。

2.結構型優化

人工智能、工程、管理等諸多領域中的實際問題往往具有特殊結構，如稀疏、低秩、可分性等。針對這些實際問題經過合适的建模将得到結構型優化問題，因而結構型優化的理論與算法在人工智能、工程、管理中具有重要應用。結合學校特色，針對模式識别、飛行器氣動優化、交通管理等相關實際問題突破傳統方法，充分發掘問題特性建立合适的結構型優化模型，開展結構型優化理論研究，設計結構型優化的數值算法框架，并進行實際應用。

3.組合優化

極值圖論和圖的虧格問題是現代圖論與組合優化研究中的核心内容，在網絡理論、理論化學等相關領域具有重要與深刻的應用。研究圖的基于距離的結構參數的極值性質，确定這些結構參數與圖的基本特征的内在聯系，并刻畫達到極值的圖的結構性質；刻畫一般圖關于基于離心率的特殊圖的嵌入問題，推廣距離在極值圖論中的應用；研究幾類基于離心率的結構參數的比較性質，并刻畫使這些性質成立的極值圖類；解決圖虧格中關于完全圖四角剖分的兩個公開問題，并形成統一結果。

4.蛋白質結構預測

預測蛋白質結構是非常重要的生物信息學問題。從數學優化的角度建立氨基酸序列折疊成蛋白質結構的數學優化模型，設計高效算法快速求解模型；從數學優化的角度建立範德華力勢能作用下的數學優化模型，分别從三向、四向和八向折疊氨基酸鍊；進一步從數值優化的角度整合HP格點模型和範德華力勢能模型，利用整合的模型預測蛋白質結構，使得預測的結構能更穩定并更能滿足生物意義。

五、代數密碼與信息安全

随着信息和大數據時代的到來，國際上圍繞信息的獲取、使用和控制的鬥争愈演愈烈。信息安全問題全方位地影響我國的政治、軍事、經濟、文化、社會生活的各個方面，已成為亟待解決、影響國家大局和長遠利益的重大關鍵問題。信息安全的數學基礎研究是信息安全研究的核心問題，具有特别重要的理論意義和應用價值。

1.量子信息的數學基礎研究

量子行走是利用圖的頂點描述量子态，利用量子行走，物理學家和數學家給出了新的高效量子算法。這種算法可以指數級别地快于通常算法，在量子信息處理和量子通信領域有重要的應用。利用薛定谔方程，量子态轉移可以用矩陣幂級數表示，證明非交換群上凱萊圖存在完美态轉移(perfect state transfer， PST)；将非交換群的表示應用到非交換群上凱萊圖的PST存在性問題。

2.分布式存儲的數學應用研究

随着大數據時代的到來，海量的數據存儲難免會産生數據删除、錯誤，簡單的重複備份需要大量的物理内存，為解決這個問題，分布式存儲被人們提出并且廣泛的應用到實際中；分布式存儲能提供一種高效的數據存儲模式，是一種可以利用局部節點數據恢複整個數據的方法，成為目前的研究熱點；利用代數與組合的工具構造一些優的局部修複碼。

3.通信的數學基礎研究

碼本也稱為信号集，新一代的通信要求碼本具有較多的碼字，較小的相關值。利用代數與組合的工具，定義一種新的特征和，構造一些新的參數的碼本，并證明碼本的漸近優性。 針對LCD碼、自對偶碼與MDS碼在編碼和密碼以及通信領域中的應用，系統地給出具有任意維數的Hull的MDS碼；利用這些碼構造一些新參數的糾纏輔助的量子碼。